前言
9月3日是P大常微分方程的开学期末考试时间。这里对常微分方程的考试内容作一个基本整理。
这里省略的全部冗长的证明和引理，只保留直接的应用内容，以期尽快能够应付考试。
高维微分方程组的形式和性质
定义
微分方程组的一般形式为
\[\left\{\begin{array}{l} \frac{\mathrm{d} y_{1}}{\mathrm{~d} x}=f_{1}\left(x, y_{1}, \cdots, y_{n}\right) \\ \frac{\mathrm{d} y_{2}}{\mathrm{~d} x}=f_{2}\left(x, y_{1}, \cdots, y_{n}\right) \\ \cdots \cdots \\ \frac{\mathrm{d} y_{n}}{\mathrm{~d} x}=f_{n}\left(x, y_{1}, \cdots, y_{n}\right) \end{array}\right.\]其中 \(f_{1}, f_{2}, \cdots, f_{n}\) 是变量 \(\left(x, y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}\right)\) 在某个区域 \(D\) 内的已知 连续函数. 采用向量的记号, 可以将方程组 (4.3) 写得更为简洁. 令
\[\begin{array}{l} \boldsymbol{y}=\left(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}, \\ f_{i}(x, \boldsymbol{y})=f_{i}\left(x, y_{1}, \cdots, y_{n}\right), \quad i=1,2, \cdots, n, \\ \boldsymbol{f}(x, \boldsymbol{y})=\left(f_{1}(x, y), f_{2}(x, \boldsymbol{y}), \cdots, f_{n}(x, \boldsymbol{y})\right) \in \mathbb{R}^{n}, \end{array}\]且规定
\(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\left(\frac{\mathrm{d} y_{1}}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{d} y_{2}}{\mathrm{~d} x}, \cdots, \frac{\mathrm{d} y_{n}}{\mathrm{~d} x}\right)\),
则方程组可以写成
\(\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{y}}{\mathrm{d} x}=\boldsymbol{f}(x, \boldsymbol{y})\),
其中 \(\boldsymbol{f}\) 是一个关于变量 \((x, \boldsymbol{y}) \in D\) 的连续的 \(n\) 维向量函数. 考虑方程组在如下初始条件下的初值问题:
\(\boldsymbol{y}\left(x_{0}\right)=\boldsymbol{y}_{0}\),
其中初值点 \(\left(x_{0}, \boldsymbol{y}_{0}\right) \in D \subset \mathbb{R}^{n+1}\) .
存在唯一性
Picard 定理. 假设函数 \(f\) 在有界闭区域 \(R\) 上连续, 且对 \(\boldsymbol{y}\) 满足 Lipschitz 条件, 则初值问题的解在区间 \(\left\vert x-x_{0}\right\vert \leqslant h\) 上存在且唯一, 其中\(h=\min \left\{a, \frac{b}{\max _{(x, y) \in R}\vert \boldsymbol{f}(x, \boldsymbol{y})\vert }\right\}\).
Peano 定理. 假设函数 \(\boldsymbol{f}\) 在有界闭区域 \(R\) 上连续, 则初值问题的解在区间 \(\left\vert x-x_{0}\right\vert \leqslant h\) 上存在, 其中\(h=\min \left\{a, \frac{b}{\max _{(x, \boldsymbol{y}) \in R}\vert \boldsymbol{f}(x, \boldsymbol{y})\vert }\right\}\).
线性情形
按照通常的习惯, 引入列向量
\[\boldsymbol{y}=\left(\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ \vdots \\ y_{n} \end{array}\right), \quad \boldsymbol{e}(x)=\left(\begin{array}{c} e_{1}(x) \\ e_{2}(x) \\ \vdots \\ e_{n}(x) \end{array}\right)\]及矩阵 \(\boldsymbol{A}(x)=\left(a_{i j}(x)\right)_{n \times n}\). 这样一来, 可以将线性方程组
\[\frac{\mathrm{d} y_{i}}{\mathrm{~d} x}=\sum_{j=1}^{n} a_{i j}(x) y_{j}+e_{i}(x), \quad i=1,2, \cdots, n\]写成更紧凑的形式:
\(\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{y}}{\mathrm{d} x}=\boldsymbol{A}(x) \boldsymbol{y}+\boldsymbol{e}(x)\).
当 \(\boldsymbol{A}(x)\) 和 \(\boldsymbol{e}(x)\) 在区间 \(a<x<b\)上连续时, 容易证明下面的结论：方程组对于任意的初始条件 \(\boldsymbol{y}\left(x_{0}\right)=\boldsymbol{y}_{0}(a< \left.x_{0}<b\right)\) 的解在整个区间 \(a<x<b\) 上存在且唯一.
解的连续性与可微性
连续性依赖
设 \(n\) 维向量函数 \(\boldsymbol{f}(x, \boldsymbol{y}, \boldsymbol{\lambda})\) 在闭区域\(G:\vert x\vert \leqslant a,\vert y\vert \leqslant b,\vert \boldsymbol{\lambda}\vert \leqslant c\)上连续, 且对 \(\boldsymbol{y}\) 满足 Lipschitz 条件, 即对于任意的 \(\left(x, \boldsymbol{y}_{1}, \boldsymbol{\lambda}\right),\left(x, \boldsymbol{y}_{2}, \boldsymbol{\lambda}\right) \in G\), 有
\(\left\vert \boldsymbol{f}\left(x, \boldsymbol{y}_{1}, \boldsymbol{\lambda}\right)-\boldsymbol{f}\left(x, \boldsymbol{y}_{2}, \boldsymbol{\lambda}\right)\right\vert \leqslant L\left\vert \boldsymbol{y}_{1}-\boldsymbol{y}_{2}\right\vert\),
其中常数 \(L>0\). 令
\(M=\max _{(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, \boldsymbol{\lambda}) \in G}\vert \boldsymbol{f}(x, \boldsymbol{y}, \boldsymbol{\lambda})\vert , \quad h=\min \left\{a, \frac{b}{M}\right\}\),
则初值问题的解 \(\boldsymbol{y}=\boldsymbol{\phi}(x, \lambda)\) 在闭区域\(D:\vert x\vert \leqslant h,\vert \boldsymbol{\lambda}\vert \leqslant c\)上是连续的.
推论. 设 \(n\) 维向量函数 \(\boldsymbol{f}(x, \boldsymbol{y})\) 在闭区域
\[R:\left\vert x-x_{0}\right\vert \leqslant a,\left\vert \boldsymbol{y}-\boldsymbol{y}_{0}\right\vert \leqslant b\]上连续, 且对 \(y\) 满足 Lipschitz 条件, 则初值问题
\[\left\{\begin{array}{l} \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{y}}{\mathrm{d} x}=\boldsymbol{f}(x, \boldsymbol{y}) \\ \boldsymbol{y}\left(x_{0}\right)=\boldsymbol{\eta} \end{array}\right.\]的解 \(\boldsymbol{y}=\boldsymbol{\phi}(x, \boldsymbol{\eta})\) 在闭区域\(Q:\left\vert x-x_{0}\right\vert \leqslant \frac{h}{2},\left\vert \boldsymbol{\eta}-\boldsymbol{y}_{0}\right\vert \leqslant \frac{b}{2}\)上连续, 其中\(h=\min \left\{a, \frac{b}{M}\right\}\), \(M\) 是函数 \(\boldsymbol{f}(x, \boldsymbol{y})\) 的模在 \(R\) 中的一个上界.
在定理中, Lipschitz 条件不是必需的. 事实上, 只要假设初值问题的解存在且唯一即可. 更准确地, 有下面的定理:
考虑微分方程组
\(\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{y}}{\mathrm{d} x}=\boldsymbol{f}(x, \boldsymbol{y}, \boldsymbol{\lambda})\),
其中 \(\boldsymbol{f}\) 是区域 \(G \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{m}\) 上有界、连续的 \(n\) 维向量函数. 假设对于某个初值点 \(\left(x_{0}, y_{0}\right)\), 该方程组的解 \(y=\phi\left(x ; x_{0}, y_{0}, \boldsymbol{\lambda}\right)\) 是在区间 \(I_{0}\) 上存在且唯一的, 其中 \(I_{0} \subset \mathbb{R}\) 是有界闭区间, 则对于任意的 \(\varepsilon>0\), 存在 \(\delta>0\), 只要 \(\left(\xi, \boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{\lambda}^{\prime}\right) \in G\) , 且
\(\left\vert \left(\xi, \boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{\lambda}^{\prime}\right)-\left(x_{0}, \boldsymbol{y}_{0}, \boldsymbol{\lambda}\right)\right\vert <\delta\),
就有
\(\left\vert \boldsymbol{\phi}\left(x ; \xi, \boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{\lambda}^{\prime}\right)-\boldsymbol{\phi}\left(x ; x_{0}, \boldsymbol{y}_{0}, \boldsymbol{\lambda}\right)\right\vert <\varepsilon, \quad x \in I_{0}\),
即解对初值和参数是连续依赖的.
可微性依赖
设 \(n\) 维向量函数 \(\boldsymbol{f}(x, \boldsymbol{y}, \boldsymbol{\lambda})\) 在闭区域
\[G:\vert x\vert \leqslant a,\vert \boldsymbol{y}\vert \leqslant b,\vert \boldsymbol{\lambda}\vert \leqslant c\]上连续, 且对 \(y\) 和 \(\lambda\) 有连续偏导数, 则初值问题的解 \(y= \phi(x, \lambda)\) 在闭区域
\[D:\vert x\vert \leqslant h,\vert \boldsymbol{\lambda}\vert \leqslant c\]上是连续可微的, 其中常数 \(h\) 的定义与前定理中的相同.
推论. 设 \(n\) 维向量函数 \(\boldsymbol{f}(x, \boldsymbol{y})\) 在闭区域 \(R:\left\vert x-x_{0}\right\vert \leqslant a\), \(\left\vert \boldsymbol{y}-\boldsymbol{y}_{0}\right\vert \leqslant b\) 上连续, 且对 \(\boldsymbol{y}\) 有连续偏导数 \(\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{y}}^{\prime}(x, \boldsymbol{y})\), 则对于 \(\left\vert \boldsymbol{\eta}-\boldsymbol{y}_{0}\right\vert < \frac{b}{2}\) , 初值问题
\[\left\{\begin{array}{l} \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{y}}{\mathrm{d} x}=\boldsymbol{f}(x, \boldsymbol{y}) \\ \boldsymbol{y}\left(x_{0}\right)=\boldsymbol{\eta} \end{array}\right.\]的解 \(\boldsymbol{y}=\boldsymbol{\phi}(x, \boldsymbol{\eta})\) 在闭区域 \(D:\left\vert x-x_{0}\right\vert \leqslant \frac{h}{2},\left\vert \boldsymbol{\eta}-\boldsymbol{y}_{0}\right\vert \leqslant \frac{b}{2}\) 上是连续可微的.
推广. 假设函数 \(\boldsymbol{f}(x, \boldsymbol{y}, \lambda)\) 在闭区域
\[G:\left\vert x-x_{0}\right\vert \leqslant a,\left\vert \boldsymbol{y}-\boldsymbol{y}_{0}\right\vert \leqslant b,\vert \boldsymbol{\lambda}\vert \leqslant c\]上连续, 对 \(y\) 和 \(\lambda\) 有连续偏导数, 则初值问题
\[\left\{\begin{array}{l} \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{y}}{\mathrm{d} x}=\boldsymbol{f}(x, \boldsymbol{y}, \boldsymbol{\lambda}), \\ \boldsymbol{y}\left(x_{0}\right)=\boldsymbol{y}_{0} \end{array}\right.\]在闭区域 \(R:\left\vert x-x_{0}\right\vert \leqslant h,\vert \boldsymbol{\lambda}\vert \leqslant c\) 上的唯一解 \(\boldsymbol{y}=\boldsymbol{\phi}\left(x ; x_{0}, \boldsymbol{y}_{0}, \boldsymbol{\lambda}\right)\) 对 \(\left(x_{0}, \boldsymbol{y}_{0}, \boldsymbol{\lambda}\right)\) 可微.
向量场拉直. 如果 \(X(0) \neq 0\), 则存在一个微分同胚 \(U\), 它将向量场 \(\boldsymbol{X}(\boldsymbol{x})\) 在原点的局部变成 \(\boldsymbol{Y}=(1,0, \cdots, 0)\).
高阶情形的可微性依赖. 假设函数 \(\boldsymbol{f}(x, \boldsymbol{y}, \boldsymbol{\lambda})\) 关于 \(\boldsymbol{y}\) 和 \(\boldsymbol{\lambda}\) 是 \(r(r \geqslant 1)\) 次连续可微函数（或者解析函数）, 则初值问题的解 \(\boldsymbol{y}=\phi(x, \boldsymbol{\lambda})\) 关于 \(\boldsymbol{\lambda}\) 是 \(r\) 次可微的（解析的）.
线性微分方程组
定义和性质
考虑线性微分方程组
\[\frac{\mathrm{d} y_{i}}{\mathrm{~d} x}=\sum_{j=1}^{n} a_{i j}(x) y_{j}+f_{i}(x), \quad i=1,2, \cdots, n,\]其中函数 \(a_{i j}(x), f_{i}(x)(i, j=1,2, \cdots, n)\) 在区间 \((a, b)\) 上连续. 采用矩阵和向量来改写上面的微分方程组, 得到下面更为紧凑的形式
\(\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{y}}{\mathrm{d} x}=\boldsymbol{A}(x) \boldsymbol{y}+\boldsymbol{f}(x)\),
其中 \(\boldsymbol{A}(x)=\left(a_{i j}(x)\right)_{n \times n}\), 而
\[\boldsymbol{y}=\left(\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ \vdots \\ y_{n} \end{array}\right), \quad \boldsymbol{f}(x)=\left(\begin{array}{c} f_{1}(x) \\ f_{2}(x) \\ \vdots \\ f_{n}(x) \end{array}\right)\]当 \(\boldsymbol{f}(x) \neq 0\) 时, 称方程组为非齐次线性微分方程组; 当 \(\boldsymbol{f}(x) \equiv 0\)时, 有
\(\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{y}}{\mathrm{d} x}=\boldsymbol{A}(x) \boldsymbol{y}\),
称之为对应于前述方程组的齐次线性微分方程组.
这里的 \(n\) 阶线性微分方程组的表达式在形式上与一阶线性微分方程的形式是类似的, 因此关于一阶线性微分方程的解的性质均可推广到线性微分方程组的情形.
上述线性微分方程组满足初始条件
\[\boldsymbol{y}\left(x_{0}\right)=\boldsymbol{y}_{0}\]的解 \(\boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}(x)\) 在区间 \((a, b)\) 上是存在且唯一的, 其中初值 \(x_{0} \in(a, b)\) 和 \(y_{0} \in \mathbb{R}^{n}\) 是任意给定的.
解的结构
假设 \(\boldsymbol{y}_{1}(x), \boldsymbol{y}_{2}(x)\) 是方程组的解, 则对于任意 常数 \(c_{1}, c_{2}\), 线性组合
\[c_{1} \boldsymbol{y}_{1}(x)+c_{2} \boldsymbol{y}_{2}(x)\]也是方程组的解，且存在线性同构 \(\boldsymbol{H}: \mathbb{R}^{n} \ni \boldsymbol{y}_{0} \mapsto \boldsymbol{y}(x) \in S\).
称向量函数 \(\phi_{1}(x), \phi_{2}(x), \cdots, \phi_{m}(x)\) 在区间 \((a, b)\) 上 是线性相关的, 如果存在不全为零的常数 \(c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{m}\) , 使得
\(c_{1} \boldsymbol{\phi}_{1}(x)+c_{2} \boldsymbol{\phi}_{2}(x)+\cdots+c_{m} \boldsymbol{\phi}_{m}(x) \equiv \mathbf{0}, \quad x \in(a, b).\) 否则是线性无关的。
解的结构定理
方程组在区间 \((a, b)\) 上有 \(n\) 个线性无关解 \(\phi_{1}(x), \phi_{2}(x), \cdots, \phi_{n}(x)\), 并且它的通解为
\(\boldsymbol{y}=c_{1} \phi_{1}(x)+c_{2} \phi_{2}(x)+\cdots+c_{n} \phi_{n}(x)\),
其中 \(c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n}\) 为任意常数.称这 \(n\) 个无关解为一个基本解组，求解基本解组就是求解方程组。
基本解组的判别法
将解组 \(\boldsymbol{y}_{1}(x), \boldsymbol{y}_{2}(x), \cdots, \boldsymbol{y}_{n}(x)\) 中每个向量函数写成如下形式:
\[\begin{aligned} \boldsymbol{y}_{1}(x)=&\left(\begin{array}{c} y_{11}(x) \\ y_{21}(x) \\ \vdots \\ y_{n 1}(x) \end{array}\right), \quad \boldsymbol{y}_{2}(x)=\left(\begin{array}{c} y_{12}(x) \\ y_{22}(x) \\ \vdots \\ y_{n 2}(x) \end{array}\right), \ldots, \quad \boldsymbol{y}_{n}(x)=\left(\begin{array}{c} y_{1 n}(x) \\ y_{2 n}(x) \\ \vdots \\ y_{n n}(x) \end{array}\right) \end{aligned}\]称行列式
\[W(x)=\left\vert \begin{array}{cccc} y_{11}(x) & y_{12}(x) & \cdots & y_{1 n}(x) \\ y_{21}(x) & y_{22}(x) & \cdots & y_{2 n}(x) \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ y_{n 1}(x) & y_{n 2}(x) & \cdots & y_{n n}(x) \end{array}\right\vert\]为解组 \(\boldsymbol{y}_{1}(x), \boldsymbol{y}_{2}(x), \cdots, \boldsymbol{y}_{n}(x)\) 的 Wronsky 行列式.
有 Liouville 公式：方程组的解组 \(\boldsymbol{y}_{1}(x), \boldsymbol{y}_{2}(x), \cdots, \boldsymbol{y}_{n}(x)\) 的 Wronsky 行列式 \(W(x)\) 满足
\[W(x)=W\left(x_{0}\right) \mathrm{e}^{\int_{x_{0}}^{x} \operatorname{tr} A(t) \mathrm{d} t}, \quad a<x_{0}, x<b,\]其中\(\operatorname{tr} \boldsymbol{A}(x)=\sum_{i=1}^{n} a_{i i}(x)\)为矩阵 \(\boldsymbol{A}(x)\) 的迹.
这表明 Wronsky 行列式要么恒为零，要么恒不为零。从而有定理：
方程组的解组 \(\boldsymbol{y}_{1}(x), \boldsymbol{y}_{2}(x), \cdots, \boldsymbol{y}_{n}(x)\) 构成解集 \(S\) 的一组基的充要条件是
\[W(x) \neq 0, \quad a<x<b.\]解的形式
如果 \(\boldsymbol{\Phi}(x)\) 是方程组的一个基本解矩阵, 则方程组的通解为
\(y=\Phi(x) c\),
其中 \(c\) 是任意 \(n\) 维常数向量. 推论 :
(1) 设 \(\Phi(x)\) 是方程组的一个基本解矩阵, 则对于任意的非奇异常数矩阵 \(\boldsymbol{C}\), 矩阵
\[\boldsymbol{\Psi}(x)=\boldsymbol{\Phi}(x) \boldsymbol{C}\]也是方程组的一个基本解矩阵;
(2) 设 \(\boldsymbol{\Psi}(x)\) 和 \(\boldsymbol{\Phi}(x)\) 是方程组的两个基本解矩阵, 则存在一个非奇异常数矩阵 \(\boldsymbol{C}\), 使得
\(\boldsymbol{\Psi}(x)=\boldsymbol{\Phi}(x) \boldsymbol{C}\) .
非齐次线性微分方程组的解的结构
如果 \(\boldsymbol{\Phi}(x)\) 是方程组的一个基本解矩阵, \(\phi^{*}(x)\) 是方程组的一个特解, 则方程组的任意解 \(\boldsymbol{y}=\boldsymbol{\phi}(x)\) 可以 表示为
\(\phi(x)=\Phi(x) c+\phi^{*}(x)\),
其中 \(c\) 为一个常数向量.
常数变易法求特解
设 \(\boldsymbol{\Phi}(x)\) 是方程组的一个基本解矩阵, 则方程组的通解为
\(\boldsymbol{y}(x)=\boldsymbol{\Phi}(x)\left(\boldsymbol{c}+\int_{x_{0}}^{x} \boldsymbol{\Phi}^{-1}(s) \boldsymbol{f}(s) \mathrm{d} s\right), \quad x_{0}, x \in(a, b)\),
其中 \(c\) 为任意 \(n\) 维常数向量.
常系数线性微分方程组
考察方程组 \(\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{y}}{dx}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{y}+\boldsymbol{f}(x).\)首先考察它的齐次情形。
矩阵无穷级数
\[\mathrm{e}^{\boldsymbol{A} x}=\boldsymbol{E}_{n}+\boldsymbol{A} x+\frac{1}{2 !}(\boldsymbol{A} x)^{2}+\cdots+\frac{1}{k !}(\boldsymbol{A} x)^{k}+\cdots \in \mathcal{M}_{n}\]在 \(\mathbb{R}\) 的任意有界区间上是一致收敛的, 也是绝对收敛的. 此时, 我们称 \(\mathrm{e}^{\boldsymbol{A x}}\) 为矩阵指数函数，它是常系数齐次线性微分方程组 \(\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{y}}{dx}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{y}\) 的解.其的一些性质如下： (1) 若 \(n\) 阶实矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 和 \(\boldsymbol{B}\) 可交换, 即 \(\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{B A}\), 则
\(\mathrm{e}^{A+B}=\mathrm{e}^{A} \cdot \mathrm{e}^{B}\) ;
(2) 对于任意的矩阵 \(A \in \mathcal{M}_{n}, \mathrm{e}^{A}\) 可逆, 且
\[\left(\mathrm{e}^{\boldsymbol{A}}\right)^{-1}=\mathrm{e}^{-\boldsymbol{A}} \text {; }\](3) 若 \(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{P} \in \mathcal{M}_{n}\) , 且 \(\boldsymbol{P}\) 是一个可逆矩阵, 则
\(\mathrm{e}^{P A P^{-1}}=\boldsymbol{P e}{ }^{A} P^{-1}\).
通解
常系数非齐次线性微分方程组在区间 \((a, b)\) 上的通解为
\(y=\mathrm{e}^{A x} c+\int_{x_{0}}^{x} \mathrm{e}^{A(x-s)} f(s) \mathrm{d} s\),
其中 \(\boldsymbol{c}\) 是任意 \(n\) 维常数向量; 满足初始条件 \(\boldsymbol{y}\left(x_{0}\right)=\boldsymbol{y}_{0}\) 的解为
\[\boldsymbol{y}=\mathrm{e}^{\boldsymbol{A}\left(x-x_{0}\right)} \boldsymbol{y}_{0}+\int_{x_{0}}^{x} \mathrm{e}^{A(x-s)} \boldsymbol{f}(s) \mathrm{d} s .\]\(e^{\boldsymbol{A}x}\)的初等表示和方程组求解
定理. 设 \(n\) 阶矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 有 \(n\) 个互不相同的特征值 \(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots , \lambda_{n}\) , 则矩阵指数函数
\[\boldsymbol{\Phi}(x)=\left(\mathrm{e}^{\lambda_{1} x} \boldsymbol{\xi}_{1}, \mathrm{e}^{\lambda_{2} x} \boldsymbol{\xi}_{2}, \cdots, \mathrm{e}^{\lambda_{n} x} \boldsymbol{\xi}_{n}\right)\]是方程组的一个基本解矩阵, 其中 \(\boldsymbol{\xi}_{j}(j=1,2, \cdots, n)\) 是 \(\boldsymbol{A}\) 的 对应于 \(\lambda_{j}\) 的特征向量.
处理复特征值的方法. 尽管矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 是实的, 但是它的特征值可以是复数, 因此 对应的特征向量也是复向量, 从而定理中的基本解矩阵 \(\Phi(x)\) 是 复矩阵. 此时, 需要利用公式
\[\boldsymbol{\Phi}(x)=\mathrm{e}^{\boldsymbol{A} x} \boldsymbol{C}\]来求方程组的实的基本解矩阵:
\[\mathrm{e}^{A x}=\boldsymbol{\Phi}(x) \boldsymbol{\Phi}^{-1}(0) .\]也可以用下面的方法来得到方程组的实值解. 假设 \(\boldsymbol{y}_{1}(x)= \boldsymbol{u}(x)+\mathrm{i} \boldsymbol{v}(x)\) 是方程组的一个复值解, 其中 \(\boldsymbol{u}(x), \boldsymbol{v}(x)\) 是实的. 由于 \(\boldsymbol{A}\) 是实的, 可以证明 \(\boldsymbol{y}_{2}(x)=\boldsymbol{u}(x)-\mathrm{i} \boldsymbol{v}(x)\) 也是方程组的解. 将其代入方程组得到
\(\boldsymbol{u}^{\prime}(x) \pm \mathrm{i} \boldsymbol{v}^{\prime}(x)=\boldsymbol{A} \boldsymbol{u}(x) \pm \mathrm{i} \boldsymbol{A} \boldsymbol{v}(x)\),
于是 \(\boldsymbol{y}=\boldsymbol{u}(x)=\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{y}_{1}(x)+\boldsymbol{y}_{2}(x)\right)\) 和 \(\boldsymbol{y}=\boldsymbol{v}(x)=\frac{1}{2 \mathrm{i}}\left(\boldsymbol{y}_{1}(x)-\boldsymbol{y}_{2}(x)\right)\) 均是方程组的解. 用这样的方法可以将全部的复值解换成实 值解.
重特征值情形.
引理：设 \(\lambda_{j}\) 为 \(n\) 阶矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的 \(n_{j}\) 重特征值, 则方程组有形如\(y=\mathrm{e}^{\lambda_{j} x}\left[\xi_{0}+\frac{x}{1 !} \xi_{1}+\cdots+\frac{x^{n_{j}-1}}{\left(n_{j}-1\right) !} \xi_{n_{j}-1}\right]\)的非零解的充要条件是, \(\boldsymbol{\xi}_{0}\) 为齐次线性方程组
\[\left(\boldsymbol{A}-\lambda_{j} \boldsymbol{E}_{n}\right)^{n_{j}} \boldsymbol{\xi}=\mathbf{0}\]的一个非零解, 而式中的 \(\boldsymbol{\xi}_{1}, \boldsymbol{\xi}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\xi}_{n_{j}-1}\) 由下式给出:
\[\left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{\xi}_{1}=\left(\boldsymbol{A}-\lambda_{j} \boldsymbol{E}_{n}\right) \boldsymbol{\xi}_{0} \\ \boldsymbol{\xi}_{2}=\left(\boldsymbol{A}-\lambda_{j} \boldsymbol{E}_{n}\right)^{2} \boldsymbol{\xi}_{0} \\ \cdots \cdots \\ \boldsymbol{\xi}_{n_{j}-1}=\left(\boldsymbol{A}-\lambda_{j} \boldsymbol{E}_{n}\right)^{n_{j}-1} \boldsymbol{\xi}_{0} . \end{array}\right.\]设 \(n\) 阶矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的互不相同的特征值为 \(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{s}\), 它们的重数分别为 \(n_{1}, n_{2}, \cdots, n_{s}\left(n_{1}+n_{2}+\cdots+n_{s}=n\right)\), 则方程组有如下形式的基本解矩阵: \(\boldsymbol{\Phi}(x) =\left(\mathrm{e}^{\lambda_{1} x} \boldsymbol{P}_{1}^{(1)}(x), \cdots, \mathrm{e}^{\lambda_{1} x} \boldsymbol{P}_{n_{1}}^{(1)}(x), \cdots, \mathrm{e}^{\lambda_{s} x} \boldsymbol{P}_{1}^{(s)}(x), \cdots, \mathrm{e}^{\lambda_{s} x} \boldsymbol{P}_{n_{s}}^{(s)}(x)\right)\)
其中\(\boldsymbol{P}_{j}^{(i)}(x)=\boldsymbol{\xi}_{j 0}^{(i)}+\frac{x}{1 !} \boldsymbol{\xi}_{j 1}^{(i)}+\cdots+\frac{x^{n_{i}-1}}{\left(n_{i}-1\right) !} \boldsymbol{\xi}_{j, n_{i}-1}^{(i)}\)是与 \(\lambda_{i}\) 对应的第 \(j\) 个向量多项式 \(\left(i=1,2, \cdots, s ; j=1,2, \cdots, n_{i}\right)\) , 而 \(\boldsymbol{\xi}_{10}^{(i)}, \cdots, \boldsymbol{\xi}_{n_{i} 0}^{(i)}\) 是齐次线性方程组 \(\left(\boldsymbol{A}-\lambda_{j} \boldsymbol{E}_{n}\right)^{n_{j}} \boldsymbol{\xi}=\mathbf{0}\) 的 \(n_{i}\) 个线性无关解, 且其余的 \(\boldsymbol{\xi}_{j l}^{(i)}\left(j=1,2, \cdots, n_{i} ; l=1,2, \cdots, n_{i}-1\right)\) 是将相应的 \(\boldsymbol{\xi}_{j 0}^{(i)}\) 代替引理中的 \(\xi_{0}\) 而依次得到的.
高阶线性微分方程
考察仅含有一个末知函数 \(y(x)\) 的 \(n\) 阶线性微分方程
\(y^{(n)}+a_{1}(x) y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}(x) y^{\prime}+a_{n}(x) y=f(x)\),
其中函数 \(a_{1}(x), \cdots, a_{n-1}(x), a_{n}(x)\) 和 \(f(x)\) 均在区间 \((a, b)\) 上连续. 当 \(f(x) \not \equiv 0\) 时, 称方程为非齐次线性微分方程; 而当 \(f(x) \equiv 0\) 时, 得到
\[y^{(n)}+a_{1}(x) y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}(x) y^{\prime}+a_{n}(x) y=0\]称其为对应的齐次线性微分方程。
引入向量 \(\boldsymbol{y}=\left(y, y^{\prime}, \cdots, y^{(n-1)}\right)^{\mathrm{T}}\), 则方程改写成
\(\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{y}}{\mathrm{d} x}=\boldsymbol{A}(x) \boldsymbol{y}+\boldsymbol{f}(x)\),
其中
\[\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ -a_{n}(x) & -a_{n-1}(x) & -a_{n-2}(x) & \cdots & -a_{1}(x) \end{array}\right),\boldsymbol{f}(x)=\left(\begin{array}{c} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ f(x) \end{array}\right)\]而对应的齐次线性微分方程写成
\(\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{y}}{\mathrm{d} x}=\boldsymbol{A}(x) \boldsymbol{y}\).
如果 \(y=\phi(x)\) 是方程的解, 则向量函数
\[\boldsymbol{y}=\left(\phi(x), \phi^{\prime}(x), \cdots, \phi^{(n-1)}(x)\right)^{\mathrm{T}}\]是方程组的解; 反之, 如果向量函数 \(\boldsymbol{y}\) 是方程组的解, 则它的第一个分量是原方程的解.
定理：满足初始条件
\[y\left(x_{0}\right)=y_{0}, \quad y^{\prime}\left(x_{0}\right)=y_{0}^{\prime}, \quad \cdots, \quad y^{(n-1)}\left(x_{0}\right)=y_{0}^{(n-1)}\]的解 \(y=y(x)\) 在区间 \((a, b)\) 上存在且唯一.
一般理论
（1）方程 \(y^{(n)}+a_{1}(x) y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}(x) y^{\prime}+a_{n}(x) y=0\) 在区间 \((a, b)\) 上有 \(n\) 个线性无关解, 且该方程的任意解均可以由这 \(n\) 个线性无关解线性表示.
（2）假设 \(\phi_{1}(x), \phi_{2}(x), \cdots, \phi_{n}(x)\)是区间 \((a, b)\) 上的 \(n\) 阶连续可微函数, 进一步假设 \(W(x) \neq 0, x \in(a, b)\), 则存在唯一一个形如方程\(y^{(n)}+a_{1}(x) y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}(x) y^{\prime}+a_{n}(x) y=0\) 的 \(n\) 阶齐次线性微分方程, 使得这 \(n\) 个函数是它的线性无关解.
定理. 设 \(\phi_{1}(x), \phi_{2}(x), \cdots, \phi_{n}(x)\) 是方程在区间 \((a, b)\) 上的一个基本解组, 则方程的通解为
\[y=c_{1} \phi_{1}(x)+c_{2} \phi_{2}(x)+\cdots+c_{n} \phi_{n}(x)+\phi^{*}(x),\]其中 \(c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n}\)为任意常数, 而
\[\phi^{*}(x)=\sum_{j=1}^{n} \phi_{j}(x) \int_{x_{0}}^{x} \frac{W_{j}(s)}{W(s)} f(s) \mathrm{d} s\]是方程的一个特解, 这里 \(W(x)\) 是 \(\phi_{1}(x), \phi_{2}(x), \cdots, \phi_{n}(x)\) 的 Wronsky 行列式, 而 \(W_{j}(x)(j=1,2, \cdots, n)\) 是 \(W(x)\) 中第 \(n\) 行第 \(j\) 列元素的代数余子式.
常系数高阶线性微分方程的解
引入微分算子
\[L_{n}=\frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{~d} x^{n}}+a_{1} \frac{\mathrm{d}^{n-1}}{\mathrm{~d} x^{n-1}}+\cdots+a_{n-1} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}+a_{n},\]原方程组即 \(y = L_n(y).\) 取
\[p(\lambda)=\lambda^{n}+a_{1} \lambda^{n-1}+\cdots+a_{n-1} \lambda+a_{n}\]为高阶线性微分方程的特征多项式。
定理. 假设特征多项式 \(p(\lambda)\) 有 \(s\) 个不同的根 \(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots , \lambda_{s}\), 它们的重数分别为 \(n_{1}, n_{2}, \cdots, n_{s}\left(n_{1}+n_{2}+\cdots+n_{s}=n\right)\) , 则方程有 \(n\) 个线性无关解
\[x^{k_{j}} \mathrm{e}^{\lambda_{j} x} \quad\left(k_{j}=0,1, \cdots, n_{j}-1 ; j=1,2, \cdots, s\right) .\]特别地，对于实值多项式 \(p(\lambda)\), 在方程 \(p(\lambda)=0\) 有复根的时候, 复根必定成对出现. 这时, 可以利用提取实部和虚部的方法来得到相应的实值解.
非齐次方程猜解
为避免使用复杂的常数变易法，对于特定形式的非齐次方程可以用待定系数法猜解。
(1) \(f(x)=P_{m}(x) \mathrm{e}^{\mu x}\) , 其中 \(P_{m}(x)\) 是 \(m\) 次多项式, 而 \(\mu\) 不是对 应齐次线性微分方程的特征多项式 (5.30) 的根. 这时, 可以假定特解 \(\phi^{*}(x)\) 的形式为
\[\phi^{*}(x)=Q_{m}(x) \mathrm{e}^{\mu x}\]其中 \(Q_{m}(x)\) 是 \(m\) 次多项式, 其系数待定.
(2) \(f(x)=P_{m}(x) \mathrm{e}^{\mu x}\), 其中 \(P_{m}(x)\) 是 \(m\) 次多项式, 而 \(\mu\) 是对应 齐次线性微分方程的特征多项式的 \(k\) 重根. 这时, 可以假定特解 \(\phi^{*}(x)\) 的形式为
\[\phi^{*}(x)=x^{k} Q_{m}(x) \mathrm{e}^{\mu x},\]其中 \(Q_{m}(x)\) 是 \(m\) 次多项式, 其系数待定.
(3) \(f(x)=\left(A_{m}(x) \cos \beta x+B_{l}(x) \sin \beta x\right) \mathrm{e}^{\alpha x}\) , 其中 \(A_{m}(x), B_{l}(x)\) 分别是 \(m\) 次和 \(l\) 次多项式. 这时, 可以假定特解 \(\phi^{*}(x)\) 的形式为
\[\phi^{*}(x)=x^{k}\left(C_{n}(x) \cos \beta x+D_{n}(x) \sin \beta x\right) \mathrm{e}^{\alpha x},\]其中非负整数 \(k\) 是 \(\alpha \pm \mathrm{i} \beta\) 作为特征多项式的根的重数 (当 \(\alpha \pm \mathrm{i} \beta\) 不是根时, 取 \(k=0\)),\(C_{n}(x)\) 和 \(D_{n}(x)\) 均是 \(n\) 次多项式, 其系数待定, \(n=\max \{m, l\}\).
(4) 若$f(x)$能分解成若干形如上述三个形式的特解的线性和，则可以分别求解后线性相加得到一个特解。
幂级数解法
Cauchy 定理. 设 \(\boldsymbol{f}(x, \boldsymbol{y})=\left(f_{1}(x, \boldsymbol{y}), \cdots, f_{n}(x, \boldsymbol{y})\right)\) 是在区域 \(R\) 上解析的函数, 即对于 \(k=1,2, \cdots, n, f_{k}(x, \boldsymbol{y})\) 在区域 \(R\) 上可以展开成 \(x-x_{0}\) 和 \(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{y}_{0}\) 的收敛幂级数, 则初值问题在点 \(x_{0}\) 的某邻域 \(\left\vert x-x_{0}\right\vert <\rho\) 内有唯一的解析解 \(\boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}(x)\).
考察\(y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=0,\) 利用 Cauchy 定理, 可知下面的定理成立： 设方程中的系数函数 \(p(x), q(x)\) 在区间 \(\left\vert x-x_{0}\right\vert <r\) 上均可以展开成 \(x-x_{0}\) 的收敛幂级数, 则该方程在区间 \(\left\vert x-x_{0}\right\vert < r\) 上有收敛的幂级数解
\[y=\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n},\]其中 \(c_{0}, c_{1}\) 是任意常数 (或者由初始条件确定: \(c_{0}=y\left(x_{0}\right), c_{1}=y^{\prime}\left(x_{0}\right)\) ), 而 \(c_{n}(n=2,3, \cdots)\) 由 \(c_{0}, c_{1}\) 确定.
特别地，称 \(x=x_{0}\)是方程的正则奇点, 如果方程可以写成
\[\left(x-x_{0}\right)^{2} P(x) y^{\prime \prime}+\left(x-x_{0}\right) Q(x) y^{\prime}+R(x) y=0,\]其中 \(P\left(x_{0}\right) \neq 0, Q\left(x_{0}\right)\) 和 \(R\left(x_{0}\right)\) 中至少有一个不为零. 这时也称 \(x=x_{0}\) 为方程的正则奇点.方程在正则奇点 \(x_{0}\) 的邻域内有收敛的广义幂级数解
\[y=\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n+\rho}, \quad c_{0} \neq 0,\]其中指标 \(\rho\) 和系数 \(c_{n}(n=0,1,2, \cdots)\) 可以用代入法确定.
边值问题
考虑二阶齐次线性微分方程
\[y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=0\]其中 \(p(x)\) 和 \(q(x)\) 均是区间 \(J\) 上的连续函数. 引理：方程的任何非零解在区间 \(J\) 上的零点均是孤立的，且设 \(y=\phi_{1}(x) 和 y=\phi_{2}(x)\) 是方程的两个非零解, 则 (1) 它们是线性相关的, 当且仅当它们有相同的零点; (2) 它们是线性无关的, 当且仅当它们的零点是相互交错的.
Sturm 比较定理. 设有两个齐次线性微分方程
\[y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+Q(x) y=0\]和
\[y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+R(x) y=0,\]其中函数 \(p(x), Q(x), R(x)\) 在区间 \(J\) 上均是连续的, 并且
\[R(x) \geqslant Q(x), \quad x \in J\]成立, 又设 \(y=\phi(x)\) 是方程\(y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+Q(x) y=0\)的非零解, 并且 \(x_{1}, x_{2}\left(x_{1}<x_{2}\right)\) 是它的两个相邻零点, 则方程\(y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+R(x) y=0\)的任何非零解 \(y=\psi(x)\) 至少有一 个零点 \(x_{0} \in\left[x_{1}, x_{2}\right]\) .
振动. 设 \(y=\phi(x)\) 是方程的一个非零解. 如果 \(\phi(x)\) 在区间 \(J\) 上最多有一个零点, 则称它是非振动的; 否则, 称它为是振动的. 如果 \(\phi(x)\) 在\(J\)上有无穷多个零点, 则称它在 \(J\) 上是无限振 动的. 利用上面的 Sturm 比较定理, 可以得到下面的结论：
（1）设 \(q(x) \leqslant 0, x \in J\), 则该方程的一切非零解均是非振动的. （证明:与 \(y'' +p(x)y = 0\) 比较，此方程有解 \(y=1\).）
（2）考虑微分方程 \(y^{\prime \prime}+Q(x) y=0,\) 其中函数 \(Q(x)\) 在区间 \([a,+\infty)\) 上连续, 且存在常数 \(m>0\), 使得 \(Q(x) \geqslant m .\)则方程的任意非零解 \(y=\phi(x)\) 在区间 \([a,+\infty)\) 上是无限振动的, 并且它的任意两个相邻零点的距离不超过 \(\frac{\pi}{\sqrt{m}}\). （与\(y'' + my = 0\)比较，其解是 \(\sin (\sqrt{m} (x-x_0))\).）
Sturm-Liouville 边值问题
考察二阶齐次线性微分方程
\[\left(p(x) y^{\prime}\right)^{\prime}+(\lambda r(x)+q(x)) y=0\]满足条件
\[K y(a)+L y^{\prime}(a)=0, \quad M y(b)+N y^{\prime}(b)=0\]的非零解的存在性, 其中 \(\lambda\) 是一个参数, 函数 \(q(x), r(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上连续, 函数 \(p(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上连续可微, \(p(x), r(x)>0\), 常数 \(K, L, M, N\) 满足
此即 Sturm-Liouville 边值问题.
如果对于 \(\lambda=\lambda_{0}\) , Sturm-Liouville 边值问题有非零解 \(y=\phi_{0}(x)\), 则称 \(\lambda_{0}\) 是这个边值问题的特征值, 而称解 \(y=\phi_{0}(x)\) 为对应于特征值 \(\lambda_{0}\) 的特征函数.
通过合理取值，转化原边值问题为
\[\left\{\begin{array}{l} \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}+(\lambda r(x)+q(x)) y=0 \\ y(0) \cos \alpha-y^{\prime}(0) \sin \alpha=0 \\ y(1) \cos \beta-y^{\prime}(1) \sin \beta=0 \end{array}\right.\]其中函数 \(r(x), q(x)\) 在区间 \([0,1]\) 上连续, \(r(x)>0\) , 常数 \(\alpha, \beta\) 满足
\[0 \leqslant \alpha<\pi, \quad 0<\beta \leqslant \pi .\]定理. 上述Sturm-Liouville 边值问题有无穷多个特征值：
\[\lambda_{0}<\lambda_{1}<\cdots<\lambda_{n}<\cdots, \quad \lim _{n \rightarrow+\infty} \lambda_{n}=+\infty ;\]并且对应于特征值 \(\lambda_{n}(n=0,1, \cdots)\) 的特征函数 \(\phi\left(x, \lambda_{n}\right)\) 在 \((0,1)\) 中恰好有 \(n\) 个零点.
特别地，Sturm-Liouville 边值问题的特征函数系在区间 \([0,1]\) 上满足
\[\begin{array}{c} \int_{0}^{1} r(x) \phi\left(x, \lambda_{n}\right) \phi\left(x, \lambda_{m}\right) \mathrm{d} x=\left\{\begin{array}{ll} 0, & m \neq n \\ \delta_{n}>0, & m=n \end{array}\right. \\ n, m=0,1,2, \cdots \end{array}\]